Sommario:
di G. Penna
Per mettere in evidenza come la uniformità e
continuità della
corrispondenza tra la variabile t e due funzioni x(t) e y(t) non
siano condizioni sufficienti per rappresentare graficamente
l'insieme dei punti di coordinate [x(t),y(t)] con una
"curva" piana, Peano ideò una legge capace di mettere in
corrispondenza il parametro t, numero reale compreso tra 0 e 1, con
i punti di un quadrato.
Non scendiamo in particolari sull'espressione analitica di tale
corrispondenza, osserviamo solo che il numero reale t può essere
espresso in una qualsiasi base di numerazione, ad esempio nella base
2 che utilizza solo le cifre 0 e 1, o nella base 3 che utilizza solo
le cifre 0,1 e 2. E' invece interessante vedere come Peano chiarisca
la natura della corrispondenza con un processo grafico ricorsivo.
Avendolo a disposizione, avrebbe quindi volentieri usato un
elaboratore elettronico che, opportunamente indirizzato dal
programmatore, svolge con rapidità ed eleganza il compito di
rendere "vivo" l'esempio tracciandolo rapidamente sotto i
nostri occhi.
Dice infatto Peano (citazione dapprima in interlingua
e poi tradotto liberamente) "Nos pone quadratos parziale, ut
illo fi adiacente. In base di numerazione 2 dividiamo in quattro
quadratini, mettendoli nell'ordine indicato nella figura (a), in base
di numerazione 3 come in figura (b). Poi si divide ogni quadrato
parziale in altri quattro quadrati e così all'infinito. La figura (c) rappresenta la successione di 16 quadrati in base 2, la figura
(d)
di 81 quadrati in base 3. Se rappresentiamo con il segno "U
rovesciato" la successione di figura (a), allora la figura (e)
rappresenta la successione di 64 quadrati in base 2".
Così Peano. Vediamo ora come procede il computer seguendo le sue
istruzioni, opportunamente tradotte da un programmatore che usa un
linguaggio ricorsivo. Innanzi tutto disegna una semplice curva ad U su un foglio
quadrato diviso in otto parti, questa è la curva di ordine 0. 
Poi analizza le parti di tale disegno e lo modifica nel modo
raffigurato nella figura in centro, costruendo la curva del primo ordine.
Ripetendo
il processo si arriva alla figura del secondo ordine, che ognuno può facilmente costruirsi
(per esercizio!) seguendo le indicazioni suddette.
Continuando ad aumentare la suddivisione è possibile intuire qual'è
la curva limite proposta da Peano. Essa riempe l'intero piano ma è una curva continua in ogni suo
punto ovvero, con un linguaggio non matematico, si può ricalcare
con la punta di una matita senza mai staccare la stessa dal foglio.
Il programma che disegna le curve di Peano in base 2 e in base 3 è
scaricabile nella pagina: Le attività - L'informatica - Delphi.
La curva in ogni suo punto non è derivabile ovvero, ricordando che
i "punti" sono vertici della spezzata, non esiste una
retta che passi per quel punto ed uno vicino e coincida con la
curva: ne esistono due. E' evidente soprattutto che reinerando il
processo, passando ad esempio dalla curva di ordine 4 a quella di
ordine 5, non si può prevedere in che direzione si trova l'arco di
curva uscente dal punto, l'informazione locale non sufficiente per
individuare tale direzione, si deve considerare il mutamento totale
di tutta la curva.
Le funzioni "per bene" invece la individuano. Se ad esempio
[(x0,f(x0))] sono le coordinate di un punto P di una curva (il
parametro t è qui coincidente con la x) la funzione chiamata f(x0)
definisce il suo valore nell'intorno di x0 (continuità) ed essendo
f(x0+h)=f(x0)+hf(x0) si sa in che direzione il punto P si sposta per
un incremento h di x0 (derivabilità).
In fase di realizzazione...
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OPERE SCELTE di
Giuseppe Peano 3 volumi editi a Roma nel 1959 dalle Edizioni Cremonese 1) Analisi matematica - Calcolo numerico |
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FORMULARIO MATHEMATICO
di Giuseppe Peano edito nel 1960 dalle Edizioni Cremonese |
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LA SFIDA DI PEANO Spirali Edizioni -1980 Articoli di Verdiglione, Kennedy, D0Amore, Anellis, Atti, Angelelli, Sini, Dalto, Buttazzoni, Lionello, Castelli, Mocnik, Bassi, Wette, Schneider, Zizek, P.S., Ferrero |
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CELEBRAZIONI IN MEMORIA
DI GIUSEPPE PEANO per il cinquantenario della morte Atti del convegno organizzato dal Dipartimento di Matematica dell'Università di Torino - ottobre 1982 |
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IN MEMORIA DI GIUSEPPE
PEANO edito dal Liceo Scientifico - 1955 Studi di Levi, Ascoli, Segre, Barone, Geymonat, Boggio, Cassina, Carrucio, raccolti da Terracini |
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Peano - Storia di un
matematico di H. Kennedy edito da Boringhieri - 1995 con presentazione di L. Romano |
